Matematikos miniatiūros 77 - Zbigniew Bobiński Piotr Nodzyński Mirosław Uscki

Tolesnėje miniatiūroje grįžtame prie svarstymų, susijusių su figūros lauku. Atskirų daugiakampių plotų formulių nenagrinėsime. Ši problema sudėtinga ne tik dėl ankstyvosios matematikos mokymosi stadijos. Dėl šios priežasties lyginsime daugiakampių plotus. Žinoma, mes nesiimsime nuodugniai analizuoti pačios srities sąvokos. Su jais elgsimės natūraliai ir šiek tiek intuityviai, panašiai kaip ir mokydamiesi mokyklinės matematikos. Konkrečiai nagrinėsime daugiakampių sritį, daugiausia problemas, kylančias iš garsiosios Farkaso Bolyai ir Paulo Gerwyno teoremos, kurią jie nepriklausomai vienas nuo kito atrado 1833 m. Jei dviejų daugiakampių plotai yra vienodi, vieną iš jų visada galima padalyti į baigtinį skaičių tokių daugiakampių, kad iš jų būtų galima sudaryti antrą daugiakampį. Ši teorema leidžia palyginti daugiakampių plotus jų neapskaičiuojant. Verta pažymėti, kad norint padaryti išvadą, jog dviejų daugiakampių plotai yra vienodi, pakanka kiekvieną iš šių daugiakampių padalyti į mažesnius daugiakampius taip, kad kiekvienas padalijimas turėtų vienodą elementų skaičių ir kad kiekvieną vieno padalijimo daugiakampį būtų galima uždėti ant kurio nors kito padalijimo daugiakampio taip, kad jie persidengtų ir kad šie daugiakampiai poromis užimtų visus abiejų padalijimų daugiakampius. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, paėmę kvadratą su tam tikru padalijimu, galime aprašyti tokio paties ploto daugiakampius, kurių padalijimas sudarytas iš tų pačių daugiakampių, kaip ir kvadrato padalijimas. Kartais šios problemos iškyla linksmose užduotyse, nors techniškai jos visai nesudėtingos, tokių problemų pavyzdys - tangramos Nagrinėsime daugiakampius, dažniausiai gana paprastus, su jų padalomis ir bandysime aprašyti daugiakampius, turinčius tą pačią padalą. Pažymime, kad ankstyvaisiais matematikos mokymosi etapais, išvedant šiek tiek sudėtingesnių daugiakampių plotų formules, mes naudojome metodą, kai tokius daugiakampius dalijome į mažesnius daugiakampius ir iš jų surinkdavome anksčiau išmoktus daugiakampius. Todėl verta praktiškai išbandyti šį metodą su sudėtingesniais pavyzdžiais, ypač todėl, kad su panašiais uždaviniais susiduriame daugelyje matematikos konkursų. Dažnai daugiakampiai, sudaryti iš tam tikro padalijimo elementų, primena kitose situacijose sutinkamas figūras ar simbolius - gyvūnų figūras, raides, šachmatų figūras ir t. t. - tokiu atveju nepabrėžiame, kad sudarome daugiakampius. Panašiai ir užduočių atsakymuose bei sprendimuose nesistengiame kiekvieną kartą išlaikyti atskirų dalijimo elementų matmenų, daugiausia dėmesio kreipiame į gautų daugiakampių formą, nors turėtume statyti tam tikro ploto daugiakampius Atsakymuose ir sprendimuose, ypač Ii ir Iii skyriuose, dažnai nepagrindžiame atsakymų teisingumo, t. y. ar jie turi pageidaujamų savybių. Mes apsiribojame tik rankiniu patikrinimu, ar tenkinamos sprendimo sąlygos. Miniatiūros pabaigoje pridedame kortelių su anksčiau nagrinėtuose uždaviniuose sutiktais daugiakampiais seriją. Siūlome skaitytojui jomis pasinaudoti, kad patikrintų pateiktų atsakymų teisingumą ir galbūt paieškotų kitų šių uždavinių sprendimų.